A verificação da divisibilidade de um número natural por outro número natural feita pela divisão é trabalhosa e demorada. Mas essa verificação pode ser feita de uma maneira bem mais simples se utilizarmos algumas regras práticas, denominadas critérios de divisibilidade. Para descobrir essas regras é muito importante conhecer a tabuada. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
| 16592 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -16 | Dobro de 8 (último algarismo) |
| 16576 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 1657 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -12 | Dobro de 6 (último algarismo) |
| 1645 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 164 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -10 | Dobro de 5 (último algarismo) |
| 154 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 15 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -8 | Dobro de 4 (último algarismo) |
| 7 | Diferença |
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
| 426 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -2 | Dobro do último algarismo |
| 424 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 42 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -8 | Dobro do último algarismo |
| 34 | Diferença |
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
| Número | 1 | 3 | 5 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par |
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
| Número | 2 | 9 | 4 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par | ímpar |
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
| Número | 2 | 5 | 4 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par |
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
| Número | 6 | 5 | 2 | 0 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par | ímpar |
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
| 1656 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +8 | Quatro vezes o último algarismo |
| 1664 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 166 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +16 | Quatro vezes o último algarismo |
| 182 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 18 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +8 | Quatro vezes o último algarismo |
| 26 | Soma |
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
| 1859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -40 | Cinco vezes o último algarismo |
| 1819 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 181 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -45 | Cinco vezes o último algarismo |
| 136 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 13 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -30 | Cinco vezes o último algarismo |
| -17 | Diferença |
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
| 16592 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +16 | Dobro do último algarismo |
| 16608 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 1660 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +16 | Dobro do último algarismo |
| 1676 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 167 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +12 | Dobro do último algarismo |
| 179 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 17 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +18 | Dobro do último algarismo |
| 35 | Soma |
Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
| 427 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +10 | Dobro do último algarismo |
| 437 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 43 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +14 | Dobro do último algarismo |
| 57 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 5 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +14 | Dobro do último algarismo |
| 19 | Soma |
Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.
Divisibilidade por 23
Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
| 18590 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +63 | Dobro do último algarismo |
| 18653 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 1865 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +21 | Dobro do último algarismo |
| 1886 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 188 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +42 | Dobro do último algarismo |
| 230 | Soma |
Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Divisibilidade por 29
Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.
Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
| 859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -24 | Dobro do último algarismo |
| 835 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 83 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -15 | Dobro do último algarismo |
| 68 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 6 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -24 | Dobro do último algarismo |
| -18 | Diferença |
A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31
Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
| 859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +24 | Triplo do último algarismo |
| 883 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 88 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +9 | Triplo do último algarismo |
| 97 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 9 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +21 | Triplo do último algarismo |
| 30 | Soma |
A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49
Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
| 859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +40 | Cinco vezes o último algarismo |
| 899 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 89 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +45 | Cinco vezes o último algarismo |
| 134 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 13 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +20 | Cinco vezes o último algarismo |
| 33 | Soma |
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.
