Regras de divisibilidade

          A verificação da divisibilidade de um número natural por outro número natural feita pela divisão é trabalhosa e demorada. Mas essa verificação pode ser feita de uma maneira bem mais simples se utilizarmos algumas regras práticas, denominadas critérios de divisibilidade. Para descobrir essas regras é muito importante conhecer a tabuada. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592	Número sem o último algarismo
-16	Dobro de 8 (último algarismo)
16576	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657	Número sem o último algarismo
-12	Dobro de 6 (último algarismo)
1645	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164	Número sem o último algarismo
-10	Dobro de 5 (último algarismo)
154	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15	Número sem o último algarismo
-8	Dobro de 4 (último algarismo)
7	Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426	Número sem o último algarismo
-2	Dobro do último algarismo
424	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42	Número sem o último algarismo
-8	Dobro do último algarismo
34	Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número	1	3	5	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número	2	9	4	5	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número	2	5	4	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número	6	5	2	0	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656	Número sem o último algarismo
+8	Quatro vezes o último algarismo
1664	Soma

Repete-se o processo com este último número.

166	Número sem o último algarismo
+16	Quatro vezes o último algarismo
182	Soma

Repete-se o processo com este último número.

18	Número sem o último algarismo
+8	Quatro vezes o último algarismo
26	Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859	Número sem o último algarismo
-40	Cinco vezes o último algarismo
1819	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181	Número sem o último algarismo
-45	Cinco vezes o último algarismo
136	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
-30	Cinco vezes o último algarismo
-17	Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592	Número sem o último algarismo
+16	Dobro do último algarismo
16608	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660	Número sem o último algarismo
+16	Dobro do último algarismo
1676	Soma

Repete-se o processo com este último número.

167	Número sem o último algarismo
+12	Dobro do último algarismo
179	Soma

Repete-se o processo com este último número.

17	Número sem o último algarismo
+18	Dobro do último algarismo
35	Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427	Número sem o último algarismo
+10	Dobro do último algarismo
437	Soma

Repete-se o processo com este último número.

43	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
57	Soma

Repete-se o processo com este último número.

5	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
19	Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590	Número sem o último algarismo
+63	Dobro do último algarismo
18653	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865	Número sem o último algarismo
+21	Dobro do último algarismo
1886	Soma

Repete-se o processo com este último número.

188	Número sem o último algarismo
+42	Dobro do último algarismo
230	Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859	Número sem o último algarismo
-24	Dobro do último algarismo
835	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83	Número sem o último algarismo
-15	Dobro do último algarismo
68	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6	Número sem o último algarismo
-24	Dobro do último algarismo
-18	Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859	Número sem o último algarismo
+24	Triplo do último algarismo
883	Soma

Repete-se o processo com este último número.

88	Número sem o último algarismo
+9	Triplo do último algarismo
97	Soma

Repete-se o processo com este último número.

9	Número sem o último algarismo
+21	Triplo do último algarismo
30	Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859	Número sem o último algarismo
+40	Cinco vezes o último algarismo
899	Soma

Repete-se o processo com este último número.

89	Número sem o último algarismo
+45	Cinco vezes o último algarismo
134	Soma

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
+20	Cinco vezes o último algarismo
33	Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.